Analisi matematica 2

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Analisi matematica Serie numeriche e serie di funzioni Generalità sulle serie. Definizione. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Proprietà definitivamente vera. Esempi elementari: serie del Mengoli, geometrica, armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Invarianza del carattere di una serie per soppressione di un numero finito di addendi. Definizione di resto n-simo. Serie a termini positivi. Carattere regolare di una serie a termini positivi. Criteri di convergenza: del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno qualunque. Serie dei moduli. Convergenza assoluta e semplice. Serie a termini di segno alternato. Criterio di convergenza di Leibniz. Stima dell'errore. Serie di funzioni e serie di potenze. Intervallo di convergenza. Centro di convergenza. Raggio di convergenza e sua determinazione. Derivabilità ed integrabilità di una serie di potenze. Rappresentabilità di una funzione in serie di potenze. Serie di Taylor e serie di Maclaurin. Funzione analitica. Serie di Taylor e di Maclaurin delle funzioni trascendenti elementari sin x, cos x, ex. Calcolo differenziale in piu' variabili Gli oggetti del calcolo. Funzioni reali di più variabili reali (f: Rn ®R). Dominio e codominio. Grafico. Rappresentazione mediante curve e superfici di livello. Curve parametriche nel piano e nello spazio (f: R ®Rn) Esempi. Funzioni di più variabili reali a valori vettoriali (f: Rn ®Rm). Superfici parametriche : R2 ®R3 . Esempi. Linee coordinate. Trasformazioni di coordinate (Rn ®Rn ). Esempi. Campo vettoriale ( f: Rn ®Rm). Definizione. Linee del campo. Vettore derivato primo e versore tangente ad una curva in un punto. Ascissa curvilinea. Arco parametrizzato continuo e regolare. Calcolo differenziale per le funzioni f: Rn ®R . Topologia: insiemi aperti, chiusi e proprietà. Insiemi limitati, connessi per archi. Intorno circolare di un punto. Contorno (bordo, frontiera) di un insieme. Limiti e continuità di funzioni f: R2 ®R . Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri e del segno. Derivate parziali prime. Definizione e calcolo. Significato geometrico. Piano tangente. Derivate direzionali. Gradiente e direzioni di massima pendenza. Formula del gradiente. Ortogonalità del gradiente alle linee di livello. Esempi. Differenziale. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Gli spazi C0 (A) e C1 (A). Derivate parziali seconde. Teorema di Schwarz. Derivazioni composte. Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Peano. Ottimizzazione. Massimi e minimi. Teorema di Fermat. Funzioni quadratiche: richiami. Punti critici. Matrice hessiana. Natura dei punti stazionari. Esempi. Forme differenziali lineari e campi vettoriali Forma differenziale lineare. Forma differenziale esatta. Condizione necessaria e sufficiente perchè una forma differenziale sia esatta. Significati fisici, linee di forza. Campo vettoriale conservativo. Operatore divergenza e rotore. Irrotazionalità. Integrali doppi e tripli Definizione. Dominio limitato; rettangolare. Dominio di integrazione semplice. Integrali doppi in coordinate cartesiane e polari. Applicazioni: flusso di un campo vettoriale. Baricentri. Proprietà elementari degli integrali doppi e tripli. Applicazioni ed esempi. Teorema della divergenza (o di Gauss). Significato fisico

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