Algebra lineare e geometria

• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali.
• Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti.
• Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi.
• Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato.
• Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann
• Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi.
• Matice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate.
• Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo.
• Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali.
• Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta.
• Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica.
• Generalità sui problemi numerici e sugli algoritmi. Numeri di macchina, errore di arrotondamento.
• Interpolazione polinomiale : rappresentazione di Lagrange. Rappresentazione di Newton, scelta dei nodi e convergenza. Interpolazione polinomiale a tratti : spline. Approssimazione di funzioni e di dati numerici.
• Risoluzione numerica di sistemi lineari e applicazioni. Norme di matrici, condizionamento di un sistema lineare. Tecnica di sostituzione per sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Pivoting parziale. Fattorizzazione PA=LU e sue applicazioni. Fattorizzazione di Choleski e applicazioni. Fattorizzazione QR. Sistemi lineari sotto-determinati e sovra-determinati. Minimi quadrati.
• Calcolo numerico di autovalori. Metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. Metodo QR.
Decomposizione ai valori singolari di una matrice e applicazioni.