Analisi matematica I

Richiami: insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici. Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprietà di completezza dei numeri reali e sue conseguenze. Funzioni: iniettività e suriettività; funzioni composte e inverse. Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari. Limiti e continuità: Limiti di funzioni e successioni; continuità. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale rispetto a un campione. Asintoti. Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi. Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e continuità. Punti di non derivabilità, punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hôpital. Formula di Taylor e sviluppi di Maclaurin fondamentali. Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessità. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni. Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito. L’integrale definito per funzioni continue a tratti. Proprietà dell’integrale. Media integrale, teorema della media e Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Relazione tra primitive e integrazione definita. Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza. Numeri complessi ed equazioni differenziali: forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento. Radici dei numeri complessi. Teorema Fondamentale dell'Algebra. Esponenziale di un numero complesso e formule di Eulero. Equazioni differenziali: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine, lineari e a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.